Треугольнике ABC с углом B , равным 60∘ , проведены биссектрисы AY и CX . На отрезках AX и CY отмечены точки K и N так, что KN∥AC . Прямая KN пересекает отрезки CX и AY в точках L и M соответственно. Оказалось, что KL=LM=MN . Известно, что KN=9 Найдите длину отрезка CN .

Поскольку KN || AC, то треугольники ACB и KNB подобны. Обозначим длины отрезков AC, CB и NK через a, b и x соответственно. Тогда из подобия треугольников имеем следующие соотношения:

AB/KN = CB/AC b/9 = a/(a+b)

Из условия треугольника ABC с углом B = 60° следует, что треугольник ACB — равносторонний, т.е. a = b.

Тогда a/(a+a) = 1/2, откуда a = b = AC/2.

Треугольник KNB — равнобедренный, т.е. KN = NB, откуда x = b.

Искомая длина отрезка CN равна a + x = AC/2 + AC/2 = AC.

Таким образом, длина отрезка CN равна половине длины стороны треугольника ABC.