В треугольнике ABC с углом B , равным 60∘ , проведены биссектрисы AY и CX . На отрезках AX и CY отмечены точки K и N так, что KN∥AC . Прямая KN пересекает отрезки CX и AY в точках L и M соответственно. Оказалось, что KL=LM=MN . Известно, что KN=9 . ) Найдите длину отрезка CN . Найдите длину отрезка AC

Поскольку LN || AC, углы KLN и ACL будут соответственными, поэтому LKN = BCA = 60 градусов. Также, так как KL = LM = MN, треугольники KLN и MNL будут равносторонними, и угол KMN = 60 градусов. Таким образом, угол ABM = ACM = 30 градусов.

Посмотрим на треугольники ACM и CNM. Отметим, что AC является общей стороной этих двух треугольников, а углы ACM и CNM равны 30 градусам. Таким образом, эти треугольники подобны. Следовательно, отношение длин их сторон равно отношению длин их соответствующих сторон:

AC / CM = CM / CN

Поскольку KN = 9, мы можем сказать, что KM = AC - KN = AC - 9.

Из подобия треугольников также следует, что LM / AC = MN / CM, а так как LM = MN и CM = AC - CN:

LM / AC = MN / (AC - CN) LM / AC = LM / (AC - CN)

Умножение обеих сторон уравнения на (AC - CN):

LM = AC - CN

Так как KL = LM = MN, из уравнения KM = AC - 9 следует, что:

3KL = AC - 9 3KN = AC - 9 3 * 9 = AC - 9 27 = AC - 9 AC = 36

Таким образом, длина отрезка AC равна 36.