вычеслить определённый интеграл

Привет! Давай вместе разберёмся с этим определённым интегралом.

Нам нужно вычислить интеграл \(\int_1^e \frac{dx}{x \sqrt{4 - \ln^2x}} \).

Шаг 1: Подведение под дифференциал Чтобы упростить интеграл, заметим, что выражение \(4 - \ln^2x\) очень похоже на выражение, возникающее при использовании тригонометрических тождеств. Особенно если мы введём подстановку, связанную с гиперболическими функциями. Выражение в знаменателе под интегралом наводит на мысль о гиперболической подстановке, где \(4 - \ln^2x = \cosh^2(u)\), где \(\cosh(u) = \frac{e^u +e^{-u}}{2}\).

Для этого заметим, что если сделать подстановку: \[ \ln(x) = 2\sinh(u) \] то \[ x = e^{2\sinh(u)} \] и \[ dx = 2\cosh(u)e^{2\sinh(u)}du \]

Шаг 2: Выполнение подстановки Теперь наш интеграл принимает вид: \[ \int \frac{2\cosh(u)e^{2\sinh(u)}du}{e^{2\sinh(u)} \cdot \sqrt{4 - 4\sinh^2(u)}} \] Сокращаем \(e^{2\sinh(u)}\) и упрощаем под корнем, так как \(\cosh^2(u)-\sinh^2(u) = 1\): \[ \int \frac{2\cosh(u)du}{\cosh(u) \cdot 2} \] Сократ