1

Привет! Давай вместе посмотрим на задания на фото и решим их по шагам.

1. Начнем с первого задания A), где нам нужно вычислить определенный интеграл \( \int \frac{4dx}{1 + x^2} \). Напомню, что интегрирование – это нахождение функции по её производной. Для решения этого интеграла воспользуемся заменой переменных. Нам нужно найти производную функции \( arctan(x) \), потому что \( \frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} \).

Отсюда, после умножения на 4 найдем, что \( 4 \cdot \frac{d}{dx}arctan(x) = \frac{4}{1 + x^2} \), таким образом, наш интеграл равен \( 4arctan(x) + C \), где C – константа интегрирования.

Так как нам надо вычислить определенный интеграл от 0 до 1, подставляем пределы: \( 4arctan(1) - 4arctan(0) \). Так как \( arctan(1) = \frac{\pi}{4} \) и \( arctan(0) = 0 \), тогда итоговый ответ будет \( 4 \cdot \frac{\pi}{4} - 4 \cdot 0 = \pi \).

2. Теперь перейдем к заданию 2A), где нам надо вычислить следующий интеграл: \( \int (1 + 2x)^3 dx \). Здесь можно воспользоваться методом замены переменных, положив \( u = 1 + 2x \), тогда \( du = 2dx \) и