Решите уровнение касательной

О, отлично, давай разберёмся. Нам нужно найти уравнение касательной к функции \( y = x^2 + 1 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \).

Чтобы найти уравнение касательной, нам необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найдём производную функции, чтобы вычислить угловой коэффициент касательной.
2. Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 2 \).
3. Составим уравнение касательной, используя точку касания и угловой коэффициент.

Итак, начнем по шагам:

Шаг 1: Найдем производную функции \( y = x^2 + 1 \). Производная степенной функции \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \), поэтому производная от \( x^2 \) будет \( 2x \). Константа при дифференцировании обращается в ноль, поэтому производная функции \( y \) будет:

\[ y' = 2x \]

Шаг 2: Подставим \( x_0 = 2 \) в производную функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

\[ y'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \]

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент нашей касательной \( k = 4 \).

Шаг 3: Найдем точку на графике функции, через которую будет проходить касательная. Для этого подставим \( x_0 = 2 \) в исходное уравнение функции:

[ y = 2^2 + 1