Запишите формулу

На картинке у нас задача под номером 5, часть 2, которая гласит: "Вычислите интегралы":

\[ \int_{0}^{3} \frac{x^3}{(x + 10)^2} \, dx \]

Для решения этого задания предлагаю использовать метод интегрирования по частям или замену переменной. У нас есть интеграл от функции, которая представляет собой отношение двух функций. В таком случае удобно может быть использование замены переменной.

Давай попробуем замену:

\[ u = x + 10 \]

Следовательно:

\[ x = u - 10 \]

Посчитаем дифференциал:

\[ dx = du \]

Таким образом, подставим в наш интеграл:

\[ \int_{0}^{3} \frac{(u - 10)^3}{u^2} \, du \]

Не забудем изменить пределы интегрирования в соответствии с нашей заменой:

Когда \( x = 0 \):

\[ u = 0 + 10 = 10 \]

Когда \( x = 3 \):

\[ u = 3 + 10 = 13 \]

Теперь у нас есть:

\[ \int_{10}^{13} \frac{(u - 10)^3}{u^2} \, du \]

Этот интеграл проще вычислить, так как мы можем раскрыть скобки в числителе и разбить на более простые интегралы:

\[ \int_{10}^{13} (u^{-2} - 3 \cdot 10 \cdot u^{-3} + 3 \cdot 10^2 \cdot u^{-4} - 10^3 \cdot u^{-5}) \, du \]

Теперь интегрируем почленно: