Размерность линейного пространства, базис, общее решение системы
Привет! Давай разберёмся с примером на картинке. Перед нами система линейных уравнений. Для того чтобы найти её общее решение, нам нужно сначала привести систему к удобному виду с помощью метода Гаусса. Затем на основе полученной упрощённой системы (треугольной или ступенчатой формы) мы можем определить базис соответствующего решения и размерность пространства решений.
Действуем пошагово:
- Сначала запишем расширенную матрицу системы.
- Используем метод Гаусса (прямой ход), чтобы привести матрицу к верхнетреугольному или ступенчатому виду.
- Затем выполним обратный ход метода Гаусса и получим общее решение, если оно есть.
- Найдём базис пространства решений и его размерность.
Начнём с первого шага. Напишем расширенную матрицу системы:
\[ \begin{bmatrix} 3 & 1 & -8 & 2 & 1 \\ 1 & 11 & -12 & 34 & -5 \\ 1 & -5 & 2 & -16 & 3 \\ \end{bmatrix} \]
Дальше, для упрощения системы, попробуем выразить одну переменную через другие и так далее, или сделаем элементарные преобразования строк, чтобы коэффициент перед одной из переменных стал 0 (например, вычтем из второй строки первую, умноженную на соответствующий коэффициент). Так мы постепенно приведём матрицу к
