Номер 8

Привет! Давай вместе разберемся с номером 8.

Нам нужно извлечь корни из отрицательного числа. Мы знаем, что корень четной степени из отрицательного числа не может быть найден в множестве действительных чисел. Это значит, что мы работаем с мнимыми числами.

Квадратные корни из \(-1\) представляют собой мнимую единицу \(i\), то есть \(i^2 = -1\). Когда просят извлечь корень четвертой степени, мы просто находим квадратный корень из квадратного корня, или, в данном случае, два квадратных корня из мнимой единицы.

Квадратный корень из \(i\) это \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \) (в полярных координатах это выражается как \(e^{i\pi/4}\), но поскольку мы должны избегать формул, останемся с алгебраическим представлением). Таким образом, квадратный корень из \(\sqrt{i}\) будет следующим шагом в уменьшении степени.

В итоге корень четвертой степени из \(-1\) можно представить как: \[ \sqrt[4]{-1} = \sqrt{\sqrt{i}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i } \]

Если мы поднимем это выражение в квадрат, то должны получить \(\sqrt{i}\), а если снова возведем в квадрат, то получим \(i\).

Значит, корень четвертой степени из -1 будет равен (\frac