Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 20см и образует с высотой пирамиды угол 45°

Объем пирамиды равен \( V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h \), где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

Для правильной четырехугольной пирамиды \( S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \times 4}{2} \), где \( a \) - длина бокового ребра.

Так как боковое ребро \( a = 20 \) см и угол между боковым ребром и высотой равен 45°, соответственно, два треугольника, составляющие это угол, равнобедренные.

Тогда \( S_{\text{осн}} = 2 \times a^2 \times \sin 45^\circ = 2 \times 20^2 \times \sin 45^\circ \)

\( V = \frac{1}{3} \times 2 \times 400 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times h = \frac{1}{3} \times 800 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times h = \frac{400 \sqrt{2}}{3} \times h \)

Следовательно, объем равен \( \frac{400 \sqrt{2}}{3} \times h \) кубических сантиметров.