А

Привет! На фотографии я вижу экран компьютера с математическим заданием. Давай разбираться по шагам.

Первая часть задачи - показать, что функция \( F(x) \) является первообразной для \( f(x) \), если \( f(x) = 3x^2 + 4x - 5 \), а \( F(x) \) это \( x^3 + 2x^2 - 5x + C \), где \( C \) - константа интегрирования.

Чтобы показать это, нужно взять производную функции \( F(x) \). Если производная \( F'(x) \) будет равна \( f(x) \), тогда \( F(x) \) действительно является первообразной \( f(x) \).

Производная \( x^3 \) будет \( 3x^2 \), производная \( 2x^2 \) будет \( 4x \), производная \( -5x \) будет \( -5 \), а производная константы \( C \) будет 0, так как константа при дифференцировании исчезает.

Таким образом, \( F'(x) = 3x^2 + 4x - 5 \) что совпадает с \( f(x) \), следовательно, функция \( F(x) \) действительно является первообразной \( f(x) \).

Теперь найдём конкретное значение константы \( C \) для функции \( F(x) \), зная, что график проходит через точку \( B(1; 5) \). Подставим координаты точки \( B \) в функцию \( F(x) \):

\( 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + C = 5 \)

( 1 + 2 -