Прямая у=m+x пересекает гиперболу у=1-64/х

Привет! Давай разберёмся с твоей задачей.

У нас есть уравнение прямой \( y = m + x \) и уравнение гиперболы \( y = 1 - \frac{64}{x} \). Нам нужно найти значение параметра \( m \), при котором эти два графика пересекутся ровно в одной точке, которая имеет положительную абсциссу, то есть \( x > 0 \).

Сначала приравняем правые части уравнений, чтобы найти точку пересечения: \[ m + x = 1 - \frac{64}{x} \]

Теперь давай выразим \( m \): \[ m = 1 - \frac{64}{x} - x \]

Нам известно, что пересечение имеет положительную абсциссу, следовательно \( x > 0 \), и что пересекаются они в одной точке. Так как у нас гипербола, которая симметрична относительно начала координат, должно быть, что прямая касается гиперболы. Это будет в точке, где производные обоих функций равны.

Найдём производную для гиперболы: \[ y = 1 - \frac{64}{x} \] \[ y' = 0 + 64x^{-2} \]

Так как прямая имеет уравнение \( y = m + x \), её производная \( y' \) всегда равна 1 (потому что производная от \( x \) равна 1, а \( m \) — это константа).

Теперь приравняем производные: \[ 1 = 64x^{-2} \] \[ x^2 = 64 \] \[ x = \pm 8 \]

Так