О

Хорошо, давай решим эту задачу вместе. У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C \). Нам нужно найти \( \sin B \), зная, что \( \cos B = \frac{5}{13} \).

Так как треугольник прямоугольный, то синус и косинус угла \( B \) связаны следующим тождеством:

\[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \]

Используем это, чтобы найти синус: \[ \sin^2 B = 1 - \cos^2 B \]

Подставляем значение косинуса: \[ \sin^2 B = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 \] \[ \sin^2 B = 1 - \frac{25}{169} \] \[ \sin^2 B = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} \] \[ \sin^2 B = \frac{144}{169} \]

Теперь извлекаем корень из обеих частей уравнения: \[ \sin B = \pm\frac{12}{13} \]

Но так как угол \( B \) находится в первой четверти (угол \( C \) прямой, значит угол \( A \) - острый, и угол \( B \) тоже острый), то синус угла \( B \) должен быть положительным. Следовательно, \( \sin B = \frac{12}{13} \).

Итак, \( \sin B = \frac{12}{13} \).