Реши этот интеграл

Привет! Давай вместе разберёмся с этим интегралом.

На картинке у нас интеграл от косинуса в квадрате, то есть \(\int \cos^2 x \, dx\). Этот интеграл решается с помощью тригонометрических тождеств. Нам понадобится формула понижения степени для косинуса:

\[\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\]

Теперь подставим это выражение вместо \(\cos^2 x\) в интеграл:

\[\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx\]

Разделим интеграл на два:

\[\frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx\]

Первый интеграл даст нам \(\frac{x}{2}\), а со вторым нам снова поможет тригонометрия:

\[\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx\]

Сделаем замену переменной \(u = 2x\), тогда \(du = 2dx\), и \(dx = \frac{du}{2}\). Подставляем:

\[\frac{1}{2} \int \cos(u) \cdot \frac{du}{2}\]

Теперь интегрируем:

\[\frac{1}{4} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{4} \sin(u) + C\]

Не забываем про замену:

\[\frac{1}{4} \sin(2x) + C\]

Теперь, объединяем всё вместе:

[\int \cos^2 x , dx = \frac{x}{2} + \frac