Задание 9

Привет! Давай попробуем вместе решить 9-ое задание по комплексным числам.

Тебе нужно представить числа \( z_1 = \sqrt{3} + i \) и \( z_2 = 2 + \sqrt{2} i \) в показательной форме и выполнить действия.

Для начала, давай вспомним, как выглядит показательная форма комплексного числа. Число z может быть представлено как \( re^{i\varphi} \), где r - это модуль комплексного числа, а \( \varphi \) - его аргумент.

Модуль комплексного числа \( z = a + bi \) рассчитывается как \( \sqrt{a^2 + b^2} \), а аргумент определяется через арктангенс: \( \varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \).

Начнем с числа \( z_1 = \sqrt{3} + i \):

1. Модуль числа: \( r_1 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \).
2. Аргумент числа: \( \varphi_1 = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \), который составляет \( \frac{\pi}{6} \), так как это значение соответствует углу в 30 градусов.

Теперь переведем \( z_1 \) в показательную форму: \( z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{6}} \).

Перейдем к числу \( z_2 = 2 + \sqrt{2} i \):

1. Модуль числа: ( r_2 = \sqrt{2^