Докажите теорему косинусов в случаях, изображённых на рис. 1.б и 1.в.

На рис. 1.б показана ситуация, когда треугольник ABC является остроугольным. Для доказательства теоремы косинусов в этом случае мы можем использовать закон косинусов.

По определению, закон косинусов гласит:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C),

где a, b и c - длины сторон треугольника, а C - мера угла между сторонами a и b.

В нашем случае стороны a, b и c имеют длины a, b и c соответственно, а угол C составляет угол между сторонами a и b. Таким образом, мы можем применить закон косинусов следующим образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C).

На рис. 1.в показана ситуация, когда треугольник ABC является тупоугольным. В этом случае, угол C больше 90 градусов, и поэтому косинус этого угла отрицательный.

Теорема косинусов гласит, что сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенному произведению этих сторон на косинус угла между ними, минус квадрат третьей стороны:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C).

Таким образом, мы можем применить закон косинусов к этому случаю таким же образом:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C).

При этом, так как угол C больше 90 градусов, косинус этого угла будет отрицательным, поэтому в формуле стоит минус перед вторым слагаемым.

И это и есть доказательство теоремы косинусов для случаев, показанных на рис. 1.б и 1.в.