?

Привет! На картинке у нас математическое выражение: \(2\sqrt{2} \cdot e^{\frac{\pi}{3}i}\). Чтобы найти это значение, полезно вспомнить, что комплексное число в экспоненциальной форме выражается как \(re^{i\theta}\), где \(r\) - это модуль числа (или длина вектора), а \(\theta\) - это аргумент числа (или угол, под которым вектор отложен относительно положительного направления оси абсцисс).

В нашем случае \(r = 2\sqrt{2}\), а \(\theta = \frac{\pi}{3}\). Задача сводится к тому, чтобы перевести это число из экспоненциальной формы в алгебраическую, используя формулу Эйлера \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). Давай же это сделаем.

Мы знаем, что \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) и \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Теперь применим формулу Эйлера:

\[e^{\frac{\pi}{3}i} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Умножим это на \(2\sqrt{2}\):

\[2\sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \sqrt{2} + i\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упростим выражение:

[\sqrt{2} + i\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{