Высота правильной четырех угольной пирамиды равна 13см, а сторона основания 7 см. найти боковое ребро, площадь полной поверхности пирамиды

Question 1

Задача Задача №68976

А

Аноним

29 ноября 2023 07:56 · публичный вопрос

А

Аноним 29 ноября 2023 07:56

Высота правильной четырех угольной пирамиды равна 13см, а сторона основания 7 см. найти боковое ребро, площадь полной поверхности пирамиды

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Найдем боковое ребро пирамиды:

Из треугольника, образованного одним из боковых ребер пирамиды, выражаем его длину через сторону основания и высоту пирамиды: тан α = h / a, где α - угол между высотой и основанием, а h - высота пирамиды.

Синус угла α равен отношению высоты к боковому ребру: sin α = h / c,

где c - искомое боковое ребро пирамиды.

Тангенс угла α может быть найден через сторону основания и половину диагонали основания D: tg α = D / a /2 = D / (2 * a). Заметим также, что диагональ основания D, сторона основания a и боковое ребро c образуют прямую треугольную систему. Следовательно, D^2 = a^2 + c^2.

Таким образом, мы имеем два уравнения: sin α = h / c, tg α = D / (2 * a), а также условие: D^2 = a^2 + c^2.

Известно, что a = 7 см и h = 13 см.

Исключим из уравнений sin α и tg α неизвестные a и c.

sin α = h / c, получаем c = h / (sin α).

tg α = D / (2 * a), запишем D = √(a^2 + c^2), тогда tg α = √(a^2 + c^2) / (2 * a).

tg α = √(a^2 + c^2) / (2 * a), тогда a * tg α = √(a^2 + c^2) / 2.

Умножим обе части последнего уравнения на 2 * a:

2 * a * a * tg α = √(a^2 + c^2), 2 * a^2 * tg α = √(a^2 + c^2), 4 * a^4 * tg^2 α = a^2 + c^2.

Выразим c^2:

c^2 = 4 * a^4 * tg^2 α - a^2.

Подставим изначально известные значения a = 7 см и h = 13 см:

c^2 = 4 * (7 см)^4 * ((13 см / c)^2) - (7 см)^2.

Упростим данное выражение:

c^2 = 4 * 2401 см^4 * ((13 см / c)^2) - 49 см^2, c^2 = 9604 см^4 * (169 см^2 / c^2) - 49 см^2, c^2 = 1621936 см^6 / c^2 - 49 см^2.

Умножим обе части уравнения на c^2:

c^4 = 1621936 см^6 - 49 см^2 * c^2.

Приведем уравнение к квадратному виду:

c^4 + 49 см^2 * c^2 - 1621936 см^6 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение относительно c^2:

Получим два значения c^2, одно из которых будет отрицательным. Решением будет положительное значение c^2.

Найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней и площади основания. Учитывая, что основание - это четырехугольник со стороной a = 7 см, а боковые грани - это четыре боковых треугольника, воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника по стороне и высоте:

Площадь треугольника Sтр = (1/2) * a * hтр,

Где a - основание треугольника, hтр - высота треугольника.

Высота треугольника hтр может быть найдена, используя теорему Пифагора:

hтр^2 = h^2 - (c/2)^2.

Тогда Sтр = (1/2) * a * √(h^2 - (c/2)^2).

Так как пирамида имеет четыре боковых треугольника с одинаковыми размерами, получим, что площадь полной поверхности Sпов = 4 * Sтр + Sосн.

Зная сторону основания a = 7 см, высоту пирамиды h = 13 см и значение бокового ребра c, найденное в первом пункте задачи, подставим все значения в формулу и найдем площадь полной поверхности пирамиды Sпов.

Question 2

высота правильной четырех угольной пирамиды равна 13см, а сторона основания 7 см. найти боковое ребро, площадь полной поверхности пирамиды

Answer

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора. 1) Найдем боковое ребро пирамиды: Из треугольника, образованного одним из боковых ребер пирамиды, выражаем его длину через сторону основания и высоту пирамиды: тан α = h / a, где α - угол между высотой и основанием, а h - высота пирамиды. Синус угла α равен отношению высоты к боковому ребру: sin α = h / c, где c - искомое боковое ребро пирамиды. Тангенс угла α может быть найден через сторону основания и половину диагонали основания D: tg α = D / a /2 = D / (2 * a). Заметим также, что диагональ основания D, сторона основания a и боковое ребро c образуют прямую треугольную систему. Следовательно, D^2 = a^2 + c^2. Таким образом, мы имеем два уравнения: sin α = h / c, tg α = D / (2 * a), а также условие: D^2 = a^2 + c^2. Известно, что a = 7 см и h = 13 см. Исключим из уравнений sin α и tg α неизвестные a и c. sin α = h / c, получаем c = h / (sin α). tg α = D / (2 * a), запишем D = √(a^2 + c^2), тогда tg α = √(a^2 + c^2) / (2 * a). tg α = √(a^2 + c^2) / (2 * a), тогда a * tg α = √(a^2 + c^2) / 2. Умножим обе части последнего уравнения на 2 * a: 2 * a * a * tg α = √(a^2 + c^2), 2 * a^2 * tg α = √(a^2 + c^2), 4 * a^4 * tg^2 α = a^2 + c^2. Выразим c^2: c^2 = 4 * a^4 * tg^2 α - a^2. Подставим изначально известные значения a = 7 см и h = 13 см: c^2 = 4 * (7 см)^4 * ((13 см / c)^2) - (7 см)^2. Упростим данное выражение: c^2 = 4 * 2401 см^4 * ((13 см / c)^2) - 49 см^2, c^2 = 9604 см^4 * (169 см^2 / c^2) - 49 см^2, c^2 = 1621936 см^6 / c^2 - 49 см^2. Умножим обе части уравнения на c^2: c^4 = 1621936 см^6 - 49 см^2 * c^2. Приведем уравнение к квадратному виду: c^4 + 49 см^2 * c^2 - 1621936 см^6 = 0. Решим полученное квадратное уравнение относительно c^2: Получим два значения c^2, одно из которых будет отрицательным. Решением будет положительное значение c^2. 2) Найдем площадь полной поверхности пирамиды. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей всех боковых граней и площади основания. Учитывая, что основание - это четырехугольник со стороной a = 7 см, а боковые грани - это четыре боковых треугольника, воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника по стороне и высоте: Площадь треугольника Sтр = (1/2) * a * hтр, Где a - основание треугольника, hтр - высота треугольника. Высота треугольника hтр может быть найдена, используя теорему Пифагора: hтр^2 = h^2 - (c/2)^2. Тогда Sтр = (1/2) * a * √(h^2 - (c/2)^2). Так как пирамида имеет четыре боковых треугольника с одинаковыми размерами, получим, что площадь полной поверхности Sпов = 4 * Sтр + Sосн. Зная сторону основания a = 7 см, высоту пирамиды h = 13 см и значение бокового ребра c, найденное в первом пункте задачи, подставим все значения в формулу и найдем площадь полной поверхности пирамиды Sпов.