.

Привет! Давай вместе решим эту задачу по геометрии.

У нас есть треугольник \( ABC \), в котором угол \( C \) является прямым, \( CA = 12 \) см и \( CB = 16 \) см. Мы должны найти длину гипотенузы \( AB \) и выразить тригонометрические соотношения для угла \( B \).

Чтобы найти длину \( AB \), воспользуемся теоремой Пифагора. Длина гипотенузы будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов:

\( AB = \sqrt{CA^2 + CB^2} \)

Подставим значения и посчитаем:

\( AB = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \) см

Теперь выразим тригонометрические соотношения для угла \( B \):

Для тангенса угла \( B \) (tg \( B \)):

\( \text{tg} B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CA}{CB} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \)

Для синуса угла \( B \) (sin \( B \)):

\( \text{sin} B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CB}{AB} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \)

И для косинуса угла \( B \) (cos \( B \)):

( \text{cos} B = \frac{\text