.

Привет! Сейчас мы вместе решим систему неравенств, которая у тебя на картинке.

Первое неравенство: \( \frac{5x^2 + 70x}{x^2 - 20x} > 0 \)

Второе неравенство: \( x^2 - 20x \leq 0 \)

Давай начнём с первого неравенства. Нам нужно найти область определения, то есть значения \( x \), при которых выражение имеет смысл.

Начнём с того, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, \( x^2 - 20x \neq 0 \). Решим уравнение \( x^2 - 20x = 0 \), чтобы найти исключенные значения: \( x(x - 20) = 0 \) отсюда \( x = 0 \) или \( x = 20 \). Эти значения не входят в область допустимых значений для первого неравенства.

Теперь найдем знаки выражения на разных интервалах - это стандартный метод интервалов. Разделим числовую ось на интервалы точками \( x = 0 \) и \( x = 20 \) и определим, где дробь положительна.

Для этого возьмём контрольные точки, например -1, 10 и 30:

• Если \( x = -1 \), то и числитель, и знаменатель будут отрицательными, что дает положительное значение для всей дроби.
• Если \( x = 10 \), то и числитель, и знаменатель будут положительными, что снова делает весь числитель положительным.
• Если \( x = 30 \), чис