Решить

Хорошо, давай разберёмся с этой задачей по шагам. Нам нужно найти значение выражения:

\[ 4\cos(\pi + \alpha) + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \]

, где \( \alpha = \pi \).

1. Сначала рассмотрим первое слагаемое выражения: \( \cos(\pi + \alpha) \). Зная, что косинус — чётная функция и его значение на периодическом интервале \( \pi \) меняет знак, получаем:

\[ \cos(\pi + \alpha) = \cos(\pi + \pi) = \cos(2\pi) \]

Теперь, используя базовые значения тригонометрических функций, знаем, что:

\[ \cos(2\pi) = 1 \]

2. Далее, посмотрим на второе слагаемое: \( \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) \) Зная, что синус — нечётная функция и свойства углов, знаем, что:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \pi\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \]

Так как синус нечётен, \(\sin(-x) = -\sin(x)\). Используя это, получаем:

\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 \]

3. Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

[ 4 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (-1) = 4 - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} - \frac{1}{2}