Вычислить

Хорошо, давай попробуем вместе решить эту задачу.

Текст на картинке говорит: "Вычислите \(4 + \cos^2\alpha + \tg^2\alpha\), если \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\)".

Нам известно значение косинуса угла \(\alpha\), это половина. Чтобы найти значение тангенса этого угла, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Из этого тождества мы можем выразить \(\sin\alpha\):

\(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\)

\(\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\)

\(\sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{4}\)

\(\sin^2\alpha = \frac{3}{4}\)

Теперь, когда у нас есть значение синуса в квадрате, нужно извлечь из этого значения квадратный корень, чтобы найти синус. Так как мы не знаем в какой четверти находится угол \(\alpha\), возьмём положительное значение для синуса, исходя из условия задачи (в большинстве случаев так и делается, если не указано иное):

\(\sin\alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Теперь мы можем найти тангенс \(\alpha\), который является отношением синуса к косинусу:

(\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2