Найти пределы функций

Привет! Посмотрим, какая задача у нас есть: найти предел функции \( y = \frac{|x-5|}{x-5} + \frac{5}{x} \) при \( x \) стремящемся к пяти. Тут есть два момента. Первый связан с модулем \( |x-5| \), а второй - с функцией \( \frac{5}{x} \).

Модуль выражения \( |x-5| \) означает, что если \( x \) больше 5, то модуль снимается без изменений, а если \( x \) меньше 5, то выражение в модуле меняет знак на противоположный. Таким образом, предел функции будет различаться при стремлении к пяти слева и справа.

Давай рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы:

1. Предел справа (\( x \) стремится к 5 справа): Когда \( x \) больше 5, \( |x-5| = x-5 \), и у нас получается \( \frac{x-5}{x-5} = 1 \). Так что функция превращается в \( y = 1 + \frac{5}{x} \). Предел при этом \( \lim_{{x \to 5}^+} (1 + \frac{5}{x}) = 1 + \frac{5}{5} = 2 \).

2. Предел слева (\( x \) стремится к 5 слева): Когда \( x \) меньше 5, \( |x-5| = -(x-5) \), то есть \( \frac{|x-5|}{x-5} = \frac{-(x-5)}{x-5} = -1 \). Тогда функция принимает вид \( y = -1 + \frac{5}{x} \), и ( \