17. При делении натурального числа на 8 в остатке остается 6. Докажите, что сумма куба и квадрата этого числа делится на 8.

Обозначим данное число как \( x \). Так как при делении на 8 остается остаток 6, можно записать \( x = 8n + 6 \), где \( n \) - целое число.

Теперь нужно доказать, что \( x^3 + x^2 \) делится на 8. Подставим значение \( x \): \[ x^3 + x^2 = (8n + 6)^3 + (8n + 6)^2 \]

Раскроем скобки и преобразуем выражение: \[ (8n + 6)^3 + (8n + 6)^2 = 512n^3 + 1152n^2 + 1080n + 324 \]

Заметим, что каждый из членов является кратным 8, так как содержит множитель 8. Следовательно, \( x^3 + x^2 \) делится на 8.