Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 2, АC = 8. Найдите АК.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательной: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, если О – центр окружности, то АК ⊥ ОК.

Опустим из точки А перпендикуляр на прямую ВС и обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с окружностью за М. Также проведем радиус ОМ.

Так как ОМ ⊥ ВС, то основание перпендикуляра ВСM является средним гармоническим от АВ и АС:

2 / ВМ = 1 / АВ + 1 / АС.

Подставим известные значения:

2 / ВМ = 1 / 2 + 1 / 8 = 2 / 8 + 1 / 8 = 3 / 8.

Отсюда получаем:

ВМ = 8 / 3.

Теперь рассмотрим две подобные треугольники: АОК и МОВ.

По условию, АВ = 2, и, так как О – центр окружности, ОК также равен 2. Значит, треугольник АОК равнобедренный.

В треугольнике МОВ сторона ВМ равна 8 / 3

Для подобных равнобедренных треугольников катет, опущенный из вершины, является средним геометрическим от катетов:

АК / АО = МВ / МО.

Следовательно:

АК / 2 = 8 / 3 / ОМ.

Далее решим пропорцию:

АК / 2 = 8 / 3 / ОМ.

Перепишем в виде АК * ОМ = 16 / 3 * 2

ОМ = 16 / 3 * 2 / 2 = 16 / 3.

Теперь решим уравнение:

АК * 16 / 3 = 16 / 3.

Отсюда получаем:

АК = 1.

Итак, АК = 1.