В треугольнике АВС угол С равен 45°, АВ=6v2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника АВС, мы можем использовать формулу:

R = (a * b * c) / (4 * S),

где R - радиус окружности, a, b и c - длины сторон треугольника, S - его площадь.

Длины сторон треугольника АВС равны АВ = 6√2, ВС = a и AC = b.

Чтобы найти длину стороны ВС, мы можем использовать теорему косинусов:

ВС² = АВ² + AC² - 2 * АВ * AC * cos С,

где С - угол противолежащий стороне ВС.

Подставляя известные значения, получим:

ВС² = (6√2)² + AC² - 2 * 6√2 * AC * cos 45°,

ВС² = 72 + AC² - 12√2 * AC * (1/√2),

ВС² = 72 + AC² - 12AC.

Так как в треугольнике АВС угол С равен 45°, то угол В равен 180° - 45° - 90° = 45°. Это значит, что треугольник АВС - прямоугольный.

Используя свойства прямоугольного треугольника, мы можем записать следующее уравнение:

AC² + ВС² = AB²,

AC² + (AC² - 12AC + 72) = (6√2)²,

2AC² - 12AC + 72 = 72,

2AC² - 12AC = 0,

2AC (AC - 6) = 0.

Из этого уравнения мы получаем два варианта: AC = 0 или AC = 6.

Так как сторона треугольника не может быть равной нулю, мы получаем, что AC = 6.

Теперь мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

S = (1/2) * AB * AC,

S = (1/2) * 6√2 * 6,

S = 18√2.

И, наконец, можем найти радиус окружности:

R = (AB * BC * AC) / (4 * S),

R = (6√2 * 6 * 6) / (4 * 18√2),

R = 36 / 12,

R = 3.

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 3.