.

Привет! Давай разберемся вместе с этим примером.

Итак, перед нами тригонометрическое уравнение: \[ \cos{x} + \sin{x} = \frac{1}{\cos{x}} + \frac{1}{\sin{x}} \]

Чтобы решить это уравнение, проще всего домножить обе стороны на \(\cos{x}\sin{x}\), чтобы избавиться от знаменателей. Получим: \[ \cos^2{x}\sin{x} + \sin^2{x}\cos{x} = \sin{x} + \cos{x} \]

Теперь перенесем все в одну сторону: \[ \cos^2{x}\sin{x} + \sin^2{x}\cos{x} - \sin{x} - \cos{x} = 0 \]

Выделим общие множители: \[ \sin{x}(\cos^2{x} - 1) + \cos{x}(\sin^2{x} - 1) = 0 \]

Используя тождество \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\), упростим выражение: \[ -\sin{x}\sin^2{x} - \cos{x}\cos^2{x} = 0 \]

Теперь разобьем на два уравнения, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ -\sin{x}\sin^2{x} = 0 \] \[ -\cos{x}\cos^2{x} = 0 \]

Это означает, что синус или косинус (или оба) должны быть равны нулю. Отсюда следуют корни уравнения: \(x = \frac{\pi m}{2}\), где m - любое целое число, поскольку синус и косинус обращают