О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Докажем, что f(x) непрерывна на всей прямой.

Пусть x и x₀ - произвольные точки на вещественной прямой. Рассмотрим предел f(x) при x -> x₀. Используя свойство непрерывности f(x) + f(ax), получаем:

lim (x->x₀) {f(x) + f(ax)} = f(x₀) + f(ax₀)

Так как f(x) и f(ax) непрерывны для любого a > 1, то учитывая пределы, получаем:

f(x₀) = lim (x->x₀) f(x) и f(ax₀) = lim (x->x₀) f(ax)

Таким образом, f(x₀) = f(x) + f(ax). Значит, функция f(x) непрерывна на всей прямой.