докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины

Докажем данное утверждение:

Пусть \(ABC\) - произвольный треугольник, \(AD\) - медиана, \(AH\) - высота, проведённая из вершины \(A\).

Так как медиана делит сторону пополам, то \(|BD| = |DC|\).

Из прямоугольного треугольника \(ADH\) (по теореме Пифагора): \[ |AH|^2 + |HD|^2 = |AD|^2 \]

Из прямоугольного треугольника \(ADC\) (по теореме Пифагора): \[ |AH|^2 + |HD|^2 = |AC|^2 \]

Таким образом, получаем: \[ |AD|^2 = |AC|^2 \]

Отсюда видно, что медиана не меньше высоты в треугольнике.