Решить

Хорошо, вот у нас задача на дифференцирование функции. Нужно найти производную функции \( f(x) = \lg(\cos^2 x) \). Давай шаг за шагом разбираться, как это сделать.

Сначала напомню, что производная логарифма \( \lg u \) (где \( u \) – некая функция от \( x \)) вычисляется по формуле: \( (\lg u)' = \frac{u'}{u \ln 10} \).

В нашем случае \( u = \cos^2 x \). Обозначим \( v = \cos x \), тогда \( u = v^2 \), и нам нужно будет найти производные \( dv/dx \) и \( du/dv \).

Производная \( \cos x \) - это \( -\sin x \). То есть \( dv/dx = -\sin x \).

Теперь производная \( v^2 \) по \( v \) - это \( 2v \), значит \( du/dv = 2\cos x \).

Теперь, используя цепное правило, производная от \( u \) по \( x \) будет \( du/dx = du/dv \cdot dv/dx = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x \).

Теперь нам нужно подставить это в формулу производной логарифма: \( (\lg(\cos^2 x))' = \frac{-2\sin x \cos x}{\cos^2 x \ln 10} \).

Теперь вспомним формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \). Это позволит нам упростить нашу производную.

Подставляем формулу двойного угла и получаем: ( \frac