докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Докажем:

Пусть AB и CD — параллельные хорды окружности, тогда, если M и N — середины этих хорд соответственно. Проведем диаметр PQ через центр окружности, перпендикулярный хорде AB. Обозначим точку пересечения диаметра с хордой AB как O. Так как MO = ON (как середины хорд AB и CD), а также MP = NQ (как радиусы окружности), то треугольники MOP и NOQ равны. Следовательно, угол MOQ равен нулю, что означает, что точка Q лежит на диаметре MPQ. Таким образом, середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.