Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости тре-угольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника. Решить через Дано-Найти-Решение.

Дано: Прямая, перпендикулярная плоскости треугольника и вписанная в треугольник окружность.

Найти: Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение: Пусть дан треугольник ABC с вписанной окружностью, касающейся сторон в точках D, E, F. Пусть M - произвольная точка на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника через центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из M к сторонам треугольника: MH, MK, ML.

Так как прямые MH, MK, ML - это высоты треугольника ABC, то точка M равноудалена от сторон треугольника, а значит, каждая точка этой прямой также будет равноудалена от сторон треугольника.