171, Даны окружность с центром О и радиусом 2 см и прямая, удаленная от точки О на расстояние, равное 3 см. Найдите на окружности две точки, которые при гомотетии с центром О и коэффициентом, равным 2, отобразятся на точки, принадлежащие данной прямой.

Для решения данной задачи, нам необходимо найти две точки на окружности, которые при гомотетии будут отображаться на точки прямой.

Пусть точка M(x, y) - произвольная точка на окружности. Для удобства, выберем О(0, 0) - начало координат.

Так как M(x, y) лежит на окружности, то по уравнению окружности, x^2 + y^2 = 2^2.

Теперь найдем точку, в которую отображается M при гомотетии.

По определению гомотетии, координаты отображенной точки M'(x', y') будут задаваться по формулам:

x' = kx, y' = ky,

где k - коэффициент гомотетии.

Для данной задачи, k = 2.

Так как точка M'(x', y') лежит на прямой, удаленной от точки О на расстояние 3 см, то уравнение прямой имеет вид x - 3 = 0.

Подставим значения x' и y' в уравнение прямой:

2x - 3 = 0.

Решим это уравнение относительно x:

2x = 3, x = 3/2.

Таким образом, мы получили значение x, при котором точка M отображается на точку прямой.

Теперь найдем значение y'.

Подставим x = 3/2 в уравнение окружности:

(3/2)^2 + y^2 = 2^2, 9/4 + y^2 = 4, y^2 = 4 - 9/4, y^2 = 16/4 - 9/4, y^2 = 7/4, y = ±√(7/4).

Таким образом, две точки, которые при гомотетии с коэффициентом 2 отобразятся на прямой x - 3 = 0, имеют координаты (3/2, √(7/4)) и (3/2, -√(7/4)).