Решение

Привет! Давай вместе найдем частные производные функции \( f(x, y) = 4x^6 y^{-4} - x^9 y^{-3} \).

Для начала найдем частную производную по переменной \( x \), обозначается она как \( \frac{\partial f}{\partial x} \). Чтобы ее найти, нам нужно дифференцировать исходную функцию по \( x \), считая \( y \) константой.

Возьмем производную от первого слагаемого \( 4x^6 y^{-4} \):

\[ \frac{\partial}{\partial x}(4x^6 y^{-4}) = 4 \cdot 6x^{6-1}y^{-4} = 24x^5 y^{-4} \]

Теперь производная от второго слагаемого \( -x^9 y^{-3} \):

\[ \frac{\partial}{\partial x}(-x^9 y^{-3}) = -9x^{9-1} y^{-3} = -9x^8 y^{-3} \]

Сложим оба результата:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 24x^5 y^{-4} - 9x^8 y^{-3} \]

Теперь найдем частную производную по переменной \( y \), обозначается она как \( \frac{\partial f}{\partial y} \). Аналогично, дифференцируем по \( y \), считая \( x \) константой.

Производная от \( 4x^6 y^{-4} \):

\[ \frac{\partial}{\partial y}(4x^6 y^{-4}) = 4x^6 \cdot (-4)y^{-5} = -16x^6 y^{-5} \]

Производная от \( -x^9 y^{-3} \):

[ \frac{\partial}{\partial y}(-x^9 y^{-3}) = -x^9 \cdot (-3)y^{-