Какие из перечисленных функций являются непрерывными в точке x=1

Привет! Давай посмотрим вместе.

Тебе нужно определить, какие из данных функций непрерывны в точке x=1. Функция считается непрерывной в точке, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке.
2. Предел функции при x, стремящемся к данной точке, существует.
3. Величина предела совпадает со значением функции в этой точке.

Давай начнем с первой функции \( a) f(x) \):

Для \( x < 1 \), функция задана как \( \frac{x+1}{x-1} \).

Для \( x > 1 \), функция задана как \( (x-1)^{2} \).

В первом случае, если подставить в предел 1, получится деление на ноль, что недопустимо. Следовательно, для \( x < 1 \) предел функции при \( x \) стремящемся к 1 не существует и функция не непрерывна в точке x=1.

Теперь посмотрим на вторую функцию \( b) f(x) \):

Здесь функция определена в точке x=1 как \( f(1) = 1 \).

Для \( x \neq 1 \), функция задана по-разному для \( x < 1 \) и \( x > 1 \). Но нам нужен предел при \( x \) стремящемся к 1, и здесь обе части (как для \( x < 1 \), так и для \( x > 1 \)) сходятся к 1. Итак, функция непрерывна в этой точке.

И, наконец, третья функция \( г) f(x) = \lg x \):

Функция \( \lg x \) определена и непр