Вычислите определённый интеграл

Привет! Давай разберёмся с этими интегралами по шагам.

Для начала рассмотрим номер 4:

Чтобы вычислить интеграл \(\int_{0}^{1/6} (6x - 1)^4 \, dx\), нам нужно взять первообразную функции \( (6x - 1)^4 \). Для этого можно использовать формулу для интегрирования степенной функции. Мы получим \( \frac{(6x - 1)^5}{5 \cdot 6} \), но константу интегрирования мы можем опустить, так как она сократится при вычислении определённого интеграла.

Теперь нужно подставить пределы интегрирования, т.е. вычесть значение функции при нижнем пределе из значения функции при верхнем пределе.

Давай попробуем найти значения:

\[ \frac{(6 \cdot \frac{1}{6} - 1)^5}{5 \cdot 6} - \frac{(6 \cdot 0 - 1)^5}{5 \cdot 6} = \frac{0^5}{5 \cdot 6} - \frac{(-1)^5}{5 \cdot 6} \]

Рассчитаем это и получим результат для четвертого интеграла.

Теперь интеграл номер 5:

Интеграл \(\int_{1}^{3} \frac{3x^4 + 2x^3 - x^2}{x^2} \, dx\) можно упростить, разделив каждый терм в числителе на \(x^2\), получится:

\[ \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x - 1) \, dx \]

Теперь этот интеграл легко взять, так как он является суммой инт