Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°.

Объём пирамиды равен \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \), где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.

Для правильной четырёхугольной пирамиды \( S_{\text{осн}} = a^2 \), где \( a \) - длина стороны основания.

Также, для правильной четырёхугольной пирамиды \( h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2(1 - \cos\alpha)} \), где \( \alpha \) - угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Итак, подставим известные значения:

Для \( S_{\text{осн}} \) имеем \( a = 12 \) (так как сторона основания равна боковому ребру).

Для \( h \) имеем \( \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому \( h = \frac{12}{2} \cdot \sqrt{2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})} \).

Теперь выразим объём пирамиды:

\( V = \frac{1}{3} \cdot 12^2 \cdot \frac{12}{2} \cdot \sqrt{2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})} \).