Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с плоскостью основания угол 45°.

Объём такой четырёхугольной пирамиды равен \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, \(h\) - высота.

Для вычисления объёма пирамиды необходимо найти площадь основания. Так как боковое ребро пирамиды равно 12 см и образует угол 45° с плоскостью основания, то площадь основания равна: \( S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times a \times \sin{45°} = \frac{1}{2} \times 12 \times 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 72 \text{ см}^2 \).

Теперь найдем высоту пирамиды с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного основанием, боковым ребром и высотой. Высота равна \( h = \sqrt{12^2 - (\frac{12}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{144 - 72} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ см}\).

Подставим значения \(S_{\text{осн}}\) и \(h\) в формулу объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} \times 72 \times 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2} \text{ см}^3 \).

Ответ: объём такой пирамиды равен \(144\sqrt{2} \text{ см}^3\).