.

Привет! Давай вместе решим этот пример по интегрированию.

Нам нужно найти неопределенные интегралы для каждого из трех выражений. Начнем с первого:

а) \(\int (n + mx) dx\)

Чтобы решить этот интеграл, мы просто интегрируем каждое слагаемое по отдельности. Поскольку \(n\) — это константа, ее интеграл будет \(nx\), а вот \(mx\) интегрируется как \(\frac{m}{2}x^2\). И не забудем добавить константу интегрирования \(C\).

Теперь перейдем ко второму:

б) \(\int \frac{(k + x)}{(m + x)} dx\)

Здесь можно заметить, что числитель можно разделить на два слагаемых: \(k\) и \(x\). Если разделить \(k\) на \(m + x\), то мы получим \(\frac{k}{m + x}\), а если разделить \(x\) на \(m + x\), то получим \(1\) (потому что это как \(x + m - m\) поделить на \(x + m\), что дает нам \(1 - \frac{m}{x+m}\)).

В итоге у нас получится интеграл от \(1\) минус интеграл от \(\frac{m}{x+m}\).

Интеграл от \(1\) просто будет \(x\), а вот для того, чтобы взять интеграл от \(\frac{m}{x+m}\), нам нужно сделать замену переменных (пусть \(u = x+m\), тогда \(du = dx\) и интеграл становится \(\int \frac{m}{u} du\)), чтобы в конце получилось \(m \ln|x+m|\).

В конечном и