№ 58. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим углом α. Боковые ребра пирамиды образуют с основанием угол φ. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды равен \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sin(\alpha) \) - площадь основания, а \( h = \frac{a}{\cos(\alpha)} \). Подставляем данные и формулы, получаем \( V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sin(\alpha) \cdot \frac{a}{\cos(\alpha)} \sin(\varphi) = \frac{1}{6} \cdot a^3 \sin(\alpha) \cos^{-1}(\alpha) \sin(\varphi) \).