0

Привет! Давай вместе разберёмся с этими пределами.

Начнём с первого:

1. \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{x \cdot \tan(4x)}}{{\sin^2(2x)}} = 2\)

Чтобы проверить верность этого утверждения, вспомним, что \( \tan(4x) = \frac{{\sin(4x)}}{{\cos(4x)}} \) и что \( \sin(2x) \) при \( x \to 0 \) ведёт себя как \( 2x \), это основное тригонометрическое тождество. Подставим:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{x \cdot \frac{{\sin(4x)}}{{\cos(4x)}}}}{{(2x)^2}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(4x)}}{{4x \cdot \cos(4x)}} \]

Теперь заметим, что \(\frac{{\sin(4x)}}{{4x}}\) стремится к 1 при \(x \to 0\), и \(\cos(4x)\) стремится к \(\cos(0) = 1\), следовательно, весь предел стремится к 1, а не к 2. Значит, первый предел неверно вычислен.

Теперь проверим второй предел:

2. \( \lim_{{x \to 2}} \frac{{2x^2 - 5x + 2}}{{x^2 - 6x + 8}} = -1,5\)

Для проверки подставим \(x = 2\) напрямую в выражение, так как и в числителе, и в знаменателе нет деления на 0:

[ \frac{{2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 2}}{{2^2 - 6 \cdot 2 + 8}} =