Реши интеграл и предоставь решение

Привет! Давай разберемся с интегралом, который ты прислал. Тебе нужно вычислить неопределенный интеграл функции 1 / (1 + √x) по dx от 0 до 1. Вот как мы можем это сделать:

Первый шаг – это упростить интеграл, сделать подстановку, чтобы интегрирование стало проще. В данном случае хорошо подойдет подстановка t = √x, отсюда x = t^2 и dx = 2t dt.

Теперь заменим в интеграле x на t^2 и dx на 2t dt:

∫ dx / (1 + √x) станет ∫ 2t dt / (1 + t), так как √x = t.

Теперь интеграл выглядит следующим образом:

∫ 2t / (1 + t) dt.

Отлично, теперь надо учесть пределы интегрирования. При x = 0, t будет равно 0, а при x = 1, t будет равно 1. Итак, пределы интегрирования остаются теми же.

Следующим шагом необходимо разделить числитель на знаменатель. То есть, проведем деление многочленов:

2t / (1 + t) = 2 - 2 / (1 + t).

Теперь у нас есть интеграл:

∫ (2 - 2 / (1 + t)) dt от 0 до 1.

Разделим его на два интеграла:

(∫ 2 dt) - (2 * ∫ 1 / (1 + t) dt) от 0 до 1.

Первый интеграл — это просто интеграл от константы:

∫