Записать разложение бинома (1/2у-у)^8

Чтобы записать разложение данного бинома, мы можем использовать формулу бинома Ньютона. Формула выглядит следующим образом:

(a+b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n

Где С(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n!/(k!(n-k)!)

Применим эту формулу к данному биному:

(1/2у-у)^8 = C(8,0)(1/2у)^8(-у)^0 + C(8,1)(1/2у)^7(-у)^1 + C(8,2)(1/2у)^6(-у)^2 + ... + C(8,7)(1/2у)^1(-у)^7 + C(8,8)(1/2у)^0(-у)^8

Вычислим каждый коэффициент отдельно:

C(8,0)(1/2у)^8(-у)^0 = 1*(1/2)^8y^8(-1)^0 = 1/256 * y^8

C(8,1)(1/2у)^7(-у)^1 = 8*(1/2)^7y^7(-1)^1 = 8/128 * y^7 * (-1) = -1/16 * y^7

C(8,2)(1/2у)^6(-у)^2 = 28*(1/2)^6y^6(-1)^2 = 28/64 * y^6 = 7/16 * y^6

Продолжаем вычислять аналогично:

C(8,3)(1/2у)^5(-у)^3 = -56*(1/2)^5y^5(-1)^3 = -56/32 * y^5 * (-1) = 7/4 * y^5

C(8,4)(1/2у)^4(-у)^4 = 70*(1/2)^4y^4(-1)^4 = 70/16 * y^4 = 35/8 * y^4

C(8,5)(1/2у)^3(-у)^5 = -56*(1/2)^3y^3(-1)^5 = -56/8 * y^3 * (-1) = 7 * y^3

C(8,6)(1/2у)^2(-у)^6 = 28*(1/2)^2y^2(-1)^6 = 28/4 * y^2 = 7 * y^2

C(8,7)(1/2у)^1(-у)^7 = 8*(1/2)^1y(-1)^7 = 8/2 * y * (-1) = -4y

C(8,8)(1/2у)^0(-у)^8 = 1*(1/2)^0*(-у)^8 = (-у)^8 = у^8

Таким образом, разложение (1/2у-у)^8 выглядит следующим образом:

(1/2у-у)^8 = 1/256 * y^8 - 1/16 * y^7 + 7/16 * y^6 - 7/4 * y^5 + 35/8 * y^4 - 7 * y^3 + 7 * y^2 - 4y + у^8