Записать разложение бинома (1/2у-у)^8

Разложение бинома можно выполнить, используя Биномиальную формулу:

(1/2у - у)^8 = C(8, 0)(1/2у)^8 * (-у)^0 + C(8, 1)(1/2у)^7 * (-у)^1 + C(8, 2)(1/2у)^6 * (-у)^2 + C(8, 3)(1/2у)^5 * (-у)^3 + C(8, 4)(1/2у)^4 * (-у)^4 + C(8, 5)(1/2у)^3 * (-у)^5 + C(8, 6)(1/2у)^2 * (-у)^6 + C(8, 7)(1/2у)^1 * (-у)^7 + C(8, 8)(1/2у)^0 * (-у)^8

Где C(n, k) обозначает коэффициент биномиального разложения, равный n! / (k! * (n-k)!), где n! - факториал числа n.

Теперь выполним вычисления:

(1/2у - у)^8 = C(8, 0)(1/2у)^8 * (-у)^0 + C(8, 1)(1/2у)^7 * (-у)^1 + C(8, 2)(1/2у)^6 * (-у)^2 + C(8, 3)(1/2у)^5 * (-у)^3 + C(8, 4)(1/2у)^4 * (-у)^4 + C(8, 5)(1/2у)^3 * (-у)^5 + C(8, 6)(1/2у)^2 * (-у)^6 + C(8, 7)(1/2у)^1 * (-у)^7 + C(8, 8)(1/2у)^0 * (-у)^8

Сократим выражения и произведения:

(1/2у - у)^8 = 1 * (1/2у)^8 * (-у)^0 + 8 * (1/2у)^7 * (-у)^1 + 28 * (1/2у)^6 * (-у)^2 + 56 * (1/2у)^5 * (-у)^3 + 70 * (1/2у)^4 * (-у)^4 + 56 * (1/2у)^3 * (-у)^5 + 28 * (1/2у)^2 * (-у)^6 + 8 * (1/2у)^1 * (-у)^7 + 1 * (1/2у)^0 * (-у)^8

Упростим каждое слагаемое:

(1/2у - у)^8 = 1 * (1/2у)^8 - 8 * (1/2у)^7 * у + 28 * (1/2у)^6 * у^2 - 56 * (1/2у)^5 * у^3 + 70 * (1/2у)^4 * у^4 - 56 * (1/2у)^3 * у^5 + 28 * (1/2у)^2 * у^6 - 8 * (1/2у)^1 * у^7 + 1 * (1/2у)^0 * у^8

Значит, разложение бинома (1/2у - у)^8:

(1/256)у^8 - (1/32)у^7 + (7/64)у^6 - (7/32)у^5 + (35/64)у^4 - (7/16)у^3 + (7/64)у^2 - (1/16)у + у^8