Записать разложение бинома (1/2у-у)^8

Разложение бинома (1/2у-у)^8 можно записать с помощью формулы бинома Ньютона. В данном случае, у нас есть два слагаемых: (1/2у) и (-у). При возведении в 8-ю степень каждое слагаемое будет встречаться 8 раз.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

(a + b)^n = C(n, 0)a^nb^0 + C(n, 1)*a^(n-1)*b^1 + C(n, 2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n, n-1)a^1b^(n-1) + C(n, n)a^0b^n,

где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n!/(k!(n-k)!).

Теперь запишем разложение бинома (1/2у-у)^8:

(1/2у-у)^8 = C(8, 0)(1/2у)^8(-у)^0 + C(8, 1)(1/2у)^7(-у)^1 + C(8, 2)(1/2у)^6(-у)^2 + ... + C(8, 7)(1/2у)^1(-у)^7 + C(8, 8)(1/2у)^0(-у)^8.

Теперь посчитаем каждую часть разложения:

C(8, 0) = 1, C(8, 1) = 8, C(8, 2) = 28, C(8, 3) = 56, C(8, 4) = 70, C(8, 5) = 56, C(8, 6) = 28, C(8, 7) = 8, C(8, 8) = 1.

Теперь подставим значения биномиальных коэффициентов:

(1/2у-у)^8 = 1*(1/2у)^8*(-у)^0 + 8*(1/2у)^7*(-у)^1 + 28*(1/2у)^6*(-у)^2 + 56*(1/2у)^5*(-у)^3 + 70*(1/2у)^4*(-у)^4 + 56*(1/2у)^3*(-у)^5 + 28*(1/2у)^2*(-у)^6 + 8*(1/2у)^1*(-у)^7 + 1*(1/2у)^0*(-у)^8.

Выполняя каждое умножение и упрощая выражение, получим разложение бинома (1/2у-у)^8:

(1/2у-у)^8 = 1/256у^8 - 1/64у^7 + 7/256у^6 - 7/128у^5 + 21/256у^4 - 7/128у^3 + 7/256у^2 - 1/64у + 1/256.