Найти пределы в точке

Привет!

Давай решим эту задачу вместе шаг за шагом. Нужно найти предел функции при x стремящемся к 3:

\[ \lim_{{x \to 3}} \frac{x^3 - 12}{x^2 - x - 3} \]

Для начала посмотрим, нет ли в этой дроби чего-то, что можно сократить. Заметим, что в числителе многочлен третьей степени, а в знаменателе - второй. Попробуем разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель. Поскольку 3^3 = 27, а 12 можно записать как 2*6, предположим, что числитель разложится как (x - 3)(Ax^2 + Bx + C).

Теперь разложим знаменатель на множители. Квадратный трехчлен обычно разлагается на произведение двух линейных множителей. Так как произведение крайних коэффициентов равно -3 (1 * -3) и их сумма должна дать средний коэффициент -1, то знаменатель разложится как (x - 3)(x + 1).

Получаем:

\[ \lim_{{x \to 3}} \frac{(x - 3)(Ax^2 + Bx + C)}{(x - 3)(x + 1)} \]

Сократив множитель (x - 3), который присутствует как в числителе, так и знаменателе, получаем:

\[ \lim_{{x \to 3}} \frac{Ax^2 + Bx + C}{x + 1} \]

Теперь подставим x = 3 в оставшееся выражение:

[