Докажите тождества

Хорошо, давай попробуем вместе решить эту задачку. Нам нужно доказать, что данный тригонометрический пример является верным тождеством. Начнём с того, что воспользуемся формулами сложения для тангенсов:

Для tg(α + β) формула будет следующая:

tg(α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgαtgβ)

А для tg(α - β) формула такая:

tg(α - β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgαtgβ)

Если подставим эти выражения в знаменатели нашего исходного выражения, то можно заметить, как числители и знаменатели некоторых дробей будут сокращаться. Давай попробуем это сделать:

В левой части у нас получится сумма двух дробей:

(tgα + tgβ) / [(tgα + tgβ) / (1 - tgαtgβ)] + (tgα - tgβ) / [(tgα - tgβ) / (1 + tgαtgβ)]

Сокращаем числитель и знаменатель в каждой дроби:

1 / [1 / (1 - tgαtgβ)] + 1 / [1 / (1 + tgαtgβ)] = 1 - tgαtgβ + 1 + tgαtgβ

Как видишь, у нас tgαtgβ сокращается, и у нас остается:

1 - tgαtgβ + 1 + tgαtgβ = 2

Таким образом, мы получаем:

2 = 2

Что и требовалось доказать. Задача решена!