Докажите тождества

Привет! Давай вместе решим это задание. Тебе нужно доказать тождества, верно? Итак, начнем с первого:

а) \( \cos t = \frac{1 - \tg^2 \frac{t}{2}}{1 + \tg^2 \frac{t}{2}} \)

Для доказательства этого тождества воспользуемся формулой тангенса двойного угла: \( \tg t = \frac{2\tg \frac{t}{2}}{1 - \tg^2 \frac{t}{2}} \)

Мы знаем, что \( \tg t = \frac{\sin t}{\cos t} \), поэтому можем переписать формулу так: \( \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{2\tg \frac{t}{2}}{1 - \tg^2 \frac{t}{2}} \)

Теперь выразим косинус из этого уравнения: \( \cos t = \frac{\sin t (1 - \tg^2 \frac{t}{2})}{2\tg \frac{t}{2}} \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Выразим из него синус через косинус: \( \sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t} \), но так как \( \sin t\) может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от угла \( t \), у нас получится два варианта: \( \sin t = \sqrt{1 - \cos^2 t} \) \( \sin t = -\sqrt{1 - \cos^2 t} \)

Для нашего случая (с учетом промежутка значений, в которых синус положителен) подходит первый вариант: