1,15

Хорошо, давай посмотрим на картинку. Здесь приведены математические задачи, в которых требуется доказать равенства и неравенства методом математической индукции для всех натуральных чисел \( n \). Ты упомянул текст "1,15", так что нам нужно рассмотреть и решить задачу под номером 1.15.

Задача 1.15 звучит так: \( 2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n + 1) \). Это утверждение, которое нам необходимо доказать для всех натуральных \( n \) методом индукции.

Вот как можно решить эту задачу:

Шаг 1: База индукции (проверим утверждение для \( n = 1 \)) Подставим \( n = 1 \) в левую и правую часть уравнения. Левая сторона: \( 2 \). Правая сторона: \( 1(1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \). Поскольку левая и правая сторона совпадают для \( n = 1 \), то база индукции верна.

Шаг 2: Предположение индукции (предположим, что утверждение верно для некоторого \( k \), т.е. \( 2 + 4 + \dots + 2k = k(k + 1) \)).

Шаг 3: Индукционный переход (докажем утверждение для \( n = k + 1 \)) Нужно показать, что если предположение верно для \( k \), то оно будет верно и для \( k + 1 \). Для этого добавим ( 2(k +