Исследовать на непрерывность функцию
Привет! Давай вместе рассмотрим, как исследовать данную функцию на непрерывность.
Вижу, у тебя функция задана кусочно: \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{при } x \leq 1 \\ x + 4, & \text{при } x > 1 \end{cases} \]
Чтобы проверить непрерывность функции, нужно выполнить несколько шагов.
Сначала следует проверить непрерывность функции на каждом из интервалов, где она задана (то есть для \( x \leq 1 \) и для \( x > 1 \)). В нашем случае оба куска функции – многочлены, то есть они непрерывны на своих интервалах.
Теперь нужно проверить непрерывность функции в точке стыка кусков, то есть при \( x = 1 \). Для этого сначала вычислим значение функции слева и справа от точки \( x = 1 \) и проверим, равны ли они:
Слева (при \( x \leq 1 \)): \( f(1) = 1^2 + 2 = 3 \). Справа (при \( x > 1 \)): \( f(1) = 1 + 4 = 5 \).
Так как значения разные, значит, есть разрыв в точке \( x = 1 \).
- Проверяем, какой это разрыв – устранимый или неустранимый. Поскольку пределы функции слева и справа от точки неравны, то есть \( \lim_{x \to 1-} f(x) \neq \lim_{x \to 1+} f(x) \), то разрыв неустранимый.
Вывод: функция
