Исследовать на непрерывность

Привет! Давай разберемся с твоей задачей на непрерывность функции.

Твоя функция \( f(x) \) задана двумя разными выражениями для двух интервалов. Нам нужно проверить ее на непрерывность. Непрерывность функции в точке означает, что функция не имеет скачков, разрывов или асимптот в этой точке. Это значит, что значение функции в точке и пределы слева и справа от этой точки совпадают.

В первую очередь надо проверить значение функции в точке раздела интервалов, то есть при \( x = 1 \).

1. Вычисляем предел функции слева от точки \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) \] Так как \( x^2 + 1 \) - многочлен, он непрерывен везде, и предел слева просто равен значению функции в точке: \[ 1^2 + 1 = 2 \]

2. Теперь вычисляем предел функции справа от точки \( x = 1 \): \[ \lim_{x \to 1^+} \left(\frac{1}{x-1}\right) \] Это выражение не имеет смысла при \( x = 1 \), так как в знаменателе получится ноль, но нас интересует предел при \( x \), стремящемся к 1, справа. В данном случае предел будет стремиться к бесконечности, поскольку значения \( \frac{1}{x-1} \) будут становиться всё больше и больше, когда \( x \) будет приближаться к 1 справа. Таким образ